PrecessionSpin

GQ2sur2 http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQ2sur2html GQ1sur2 http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQ1sur2 EquipartitionSphere http://er.uqam.ca/nobel/c3410/EquiSpherehtml Suivant : Atomesentetrades http://er.uqam.ca/nobel/c3410/Atomesentetradeshtml Quebecium http://er.uqam.ca/nobel/c3410/quebecium.qc.ca

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Système du Québécium.

Cônes de précession du spin de l'électron. Tétrades de ces cônes.

Pierre Demers

Les valeurs du vecteur spin

En physique de l'atome, le nombre quantique principal n est un scalaire. Les autres nombres quantiques l, m, s, sont des vecteurs ayant la dimension de moments cinétiques. l quantum azimutal et m quantum magnétique correspondent à des rotations planétaires autour du noyau; le spin s correspond à une rotation propre de l'électron. On nous apprend que les constituants isolés p, n, e ont un moment cinétique propre ou spin de valeur nominale I = 0,5, le vecteur a une valeur absolue Ã(0,5.(0,5+1)) = 0,5Ã3 = 0,8660. L'unité physique employée n'a pas besoin d'être spécifiée pour les fins du présent exposé. Ã racine carrée

En général, pour une particule de spin nominal I, la valeur absolue du vecteur est Ã[I(I+1)]. Le nombre quantique l vaut 0 ou un entier 1 ou davantage; le nombre quantique m vaut 0, 1 etc.

Noter le double sens de spin : nombre quantique ou vecteur selon le contexte.

Dans une forme de la théorie, le vecteur spin est un moment cinétique orienté provenant de la rotation d'une masse. Le moment cinétique est associé à un moment magnétique de dipôle qui lui est proportionnel, avec G facteur de Landé, qui diffère selon la particule.

moment magnétique = G.(moment cinétique) = GI

Fig. 1. On peut imaginer l'électron comme une boule traversée par une flèche figurant le vecteur moment cinétique ou magnétique. De cette figuration, on conserve la seule flèche, mais il ne faudrait pas imaginer pour autant l'électron comme une baguette tournant sur elle-même.

À cause de ce moment magnétique, les particules douées de spin créent un champ magnétique dans leur voisinage et d'autre part, tendent à s'orienter sur le champ magnétique d'axe Oz qu'elles rencontrent. Cette orientation n'est pas un alignement comme c'est le cas de l'aiguille de la boussole, qui s'aligne nord-sud sur le champ magnétique terrestre. L'orientation du spin est telle que sa projection sur l'axe Oz prenne une valeur comprise dans la liste suivante. C'est un résultat de la théorie quantique du spin. La valeur la plus petite est -I, la plus grande est I. Les autres valeurs, s'il en est, sont espacées de l'unité sur une échelle allant de -I à I . Nous omettons le facteur G.

-I, -I+1, -I+2, ... I-2, I-1, I

Avec I = 0,5 la projection peut prendre 2 valeurs : -0,5, 0,5. Avec I = 1, il y a 3 valeurs : -1, 0, 1. En général, il y a 2I+1 valeurs. Cela rappelle la règle concernant le nombre de valeurs de m quantum magnétique des atomes : pour une valeur de l, il y a 2l +1 valeurs de m.

NB. Attention aux petites différences typographiques distinguant un 1, elle l, i capital I qui n'est pas surmonté d'un point, barre verticale|pour valeur absolue.

Fig. 2. Dans le cas d'un spin de valeur nominale I = 0,5, le vecteur a la valeur absolue ÃI(I+1) = IÃ3 = 1,732I = 0,866, sa projection sur l'axe Oz vaut I. Par suite, le cosinus de l'angle entre le vecteur et sa projection vaut 1/1,732 = 0,577 et l'angle thêta du vccteur avec l'axe Oz vaut 54,736..o.

Il suit que le vecteur spin et sa projection forment un angle thêta dont le cosinus vaut le quotient des deux comme suit.

costhêta = I/Ã[I(I+1)]

Pour I = 1/2, thêta = 54,736..o. Il y a une seule projection au signe près.

Fig. 3. Cône de précession de l'électron. Le vecteur se termine en un point de la circonférence, et circule sur cette circonférence. Il y a un 2e cône ouvert vers le bas.

Origine du mouvement de précession

L'action du champ est une force donc une accélération selon Oz, laquelle compose son effet avec l'accélération associée à la rotation du moment magnétique du spin. La résultante est une force nouvelle à angle droit avec les composantes, qui fait tourner le spin autour de l'axe Oz : c'est l'origine de la précession, qui fait décrire un cercle à l'extrémité du vecteur I, traçant ainsi un cône dans l'espace, d'ouverture 2thêta. Cette force est la force de Coriolis.

Attention : si on représente l'électron par une boule traversée par une flèche, celle-ci est astreinte à rester sur le cône, seule l'extrémité de la flèche décrit un cercle, le centre de la boule reste fixe et ne décrit pas un cercle. La flèche est fictive et non matérielle.

Analogies mécaniques

Le gyroscope. L'analogie existe avec la précession d'un gyroscope, où l'accélération de la pesanteur compose son effet avec l'accélération de nature mécanique liée à la rotation. L'accélération et la force résultantes sont horizontales et causent une précession. On observe deux rotations, une du gyroscope autour de son axe propre, une autre, de précession, autour de la verticale passant par le pied du gyroscope. L'analogie n'est que partielle, parce que le centre de gravité du gyroscope décrit une rotation à cause de la précession.

La Terre. L'analogie est plus complète avec le cas de la Terre lorsqu'on envisage la seule la précession de sa rotation propre. On reconnaît à la planète Terre plusieurs mouvements,. Ses mouvements les plus évidents sont

1 un mouvement planétaire autour du Soleil, de durée une année, ce qui cause les saisons, dans le plan de l'écliptique;

et 2 un mouvement propre ou diurne, rotation sur elle-même donnant le jour et la nuit et les heures. Le mouvement 2 se fait autour d'un axe imaginaire perçant la surface du globe terrestre au pôle Nord. situé dans le grand Nord, bien au-delà de l'Ungava québécois. Cet axe est incliné d'un angle de 23,5o avec la normale au plan de l'écliptique.

Or cet axe, droite imaginaire, décrit, à cause de la précession du mouvement 2 sous l'influence de forces mécaniques, un cône de précession dans l'espace, repérable sur la voûte céleste et c'est le mouvement 3. Le cône décrit a l'angle d'inclinaison de 23,5o avec la normale au plan de l'écliptique et son ouverture est 47o. La durée du parcours est 26000 ans. De la sorte, le pôle Nord céleste quitte lentement le voisinage de l'étoile polaire actuelle alpha Petite Ourse et sera près de Véga de la Lyre dans 6000 ans. Le mouvement 3 de précession de la rotation diurne de la Terre n'affecte pas le point de percée de l'axe du mouvement 2.

On dit encore "précession des équinoxes", parce que cette précession (mouvement 3) affecte l'époque des saisons, sans affecter la durée de l'année. La détection du mouvement 3 de précession résulte d'observations célestes.

(Mais il existe un mouvement 4 qui déplace ce point de percée. C'est le déplacement des pôles. Le point de percée ou position du pôle Nord à la surface de la Terre, est repérable en principe par des observations exclusivement terrestres, par exemple avec un pendule de Foucault. Le mouvement 4 est approximativement circulaire, avec un rayon de 8 ou 10 m, et se comprend comme la superposition de 2 mouvements périodiques, avec une période de 12 mois et une autre, variable, voisine de 14 mois).

Le mouvement 1 planétaire de la Terre implique un déplacement de son centre de gravité, mais son mouvement 3 de précession, tout comme son mouvement 2 de rotation propre, n'implique aucun déplacement de son centre de gravité. En cela, l'analogie spin - Terre est supérieure à l'analogie spin - gyroscope parce que la précession du gyroscope déplace son centre de gravité.

Un sommaire

Voici un sommaire des données sur le spin de l'électron et la représentation de son mouvement conique par un cône de papier découpé.

Fig. 4. Patron sur une feuille plane servant à obtenir un cône de précession d'ouverture 109,471o du spin 0,5. Rayon 5 cm. La patte sert à raccorder par collage les lignes OA et OD

Sommaire

Le cône de précession du spin1/2 de l'électron

I nominal = 0,5

I projection sur l'axe Oz = 0,5

I vecteur, valeur absolue du vecteur 0,5Ã3 = 0,5.1,732 = 0,866

Thêta, angle du cône de précession = 54,736o

costhêta = 0,57735

sinthêta = 0,81650

2 thêta. ouverture du cône de précession = 109,471o

Alpha : 2alpha, secteur échancrure dans un cercle de papier pour obtenir un cône de papier d'ouverture 2 thêta. 2alpha = 66,062o

L'arc de cercle conservé mesure 360 -2alpha = 293,938o.

Le tiers de cet arc = 97,979o = 2.48,990o

On suppose un cerclede papier de rayon 5 cm comme dans le patron ci-dessus.

Corde. La corde du secteur échancrure = 5,451 cm.

Flèche correspondante = 0,808 cm

Corde3 : sert à diviser en 3 l'arc de cercle conservé = 7,546 cm

Universalité de l'angle 2thêta = 109,471o

L'angle 2thêta = 109,471o, important dans la théorie du spin de l'électron, n'est pas exclusif à cette théorie, ce qui n'est guère mis en évidence par les auteurs. Cela établit un rapprochement entre cette théorie et plusieurs autres données scientifiques de la géométrie, de l'électromagnétisme et de la chimie moléculaire, comme suit.

Tétraèdre régulier. L'angle dièdre intérieur de ce tétraèdre est 70,529o, complément de 2thêta : 70,529o = 180o -109,471o. Les perpendiculaires aux faces d'un tétraèdre régulier font entre elles un angle de 109,471o

Fig. 5. Vue du tétraèdre régulier, de son angle dièdre, du complément de celui-ci et de l'angle entre les normales à 2 faces.

Tétraèdre du carbone. Carbone tétraédrique. Une des quatre valences issues d'un atome de carbone fait avec chacune des 3 autres un angle de 109,471o. Ceci est vrai dans les molécules simples telles le méthane ou le tétrachlorure de carbone. Dans certaines molécules, les angles sont modifiés. Les 4 valences ne sont pas coplanaires.

Fig. 6. Les 4 valences du carbone : 2s, 2s, 2p, 2p. Deux quelconques d'entre elles font un angle 109,471o.

Rappelons que les 4 valences du carbone sont rigoureusement égales, quoique provenant d'électrons spectroscopiquement différents : 2 électrons 2s et 2 électrons 2p.

Les molécules de la vie. Le carbone avec sa tétravalence joue un rôle essentiel dans les molécules de la vie.

Tétrade de boules. Quatre boules égales s'assemblent de façon compacte, chacune touchant les 3 autres. Les 6 segments de droites joignant les centres des boules sont les arêtes d'un tétraèdre régulier. La tétrade de boules renferme donc elle aussi l'angle 2thêta = 109,471o. Entre les droites issues du centre et passant par le centre de 2 boules, l'angle est 2thêta.

Fig. 7. Une tétrade de boules.

Cercle et triangle équilatéral tracé sur une sphère. Un cône d'ouverture 2thêta issu du centre d'une sphère trace sur celle-ci un cercle inscrit dans un triangle sphérique équilatéral d'aire 1/4 de sphère ou 4pi/4 = pi stéradians, dont les angles sont 3 fois 120o.

Fig. 8. Le cône d'ouverture 109,471o. Vue dans le plan contenant la face plane base du cône. Dans ce plan, le triangle circonscrit au cercle base du cône. En pointillé fin, le triangle sphérique circonscrit à ce cercle, lequel triangle est tracé sur la surface de la sphère, dont le contour est le grand cercle en pointillé. L'hémisphère inférieur ne paraît pas

Fig. 9. Continue la figure 8. Montre 4 triangles occupant la totalité de la surface de la sphère. Ce qui est en pointillé est tracé sur l'hémisphère inférieur vu par dedans. Les lignes définissent 4 triangles sphériques a, b, c, d occupent dans son entièreté l'angle solide 4_ stér, chacun occupant _ stér. Des cercles inscrits dans ces triangles, trois apparaissant comme des ellipses sont ceux des bases de 3 cônes.Les 6 points de tangence entre cercles sont marqués par les 6 binômes tels que b3d2., qui marquent aussi les rencontres entre triangles. En ces points. l'angle dièdre extérieur est 109,47 +180 degrés, l'intérieur est le complément de 109,47 soit 70,53 degrés. - On montre le tracé, partiellement en rouge, du tétraèdre passant par les cercles bases des cônes. Il exclut 4 calottes sphériques.

Tétrade de cônes. Quatre cônes égaux d'ouverture 2thêta issus du centre d'une sphère s'assemblent exactement pour occuper la sphère des angles solides, traçant 4 cercles sur la surface de cette sphère. Chaque cône touche les 3 autres selon des génératrices tangentes issues du centre. Il y a, par les cônes, occupation partielle de la sphère mais non remplissage. Si on centre l'un des cercles au pôle Nord avec son triangle équilatéral circonscrit, du pôle Sud rayonnent 3 arcs de grands cercles qui contribuent à délimiter trois triangles. L'angle entre deux de ces arcs au pôle Sud est 120o. Chacun de ces arcs se termine à 30o au Nord de l'équateur, sur un sommet du. triangle comprenant le pôle Nord. Ces 3 triangles sont limités au Nord par les arcs du triangle comprenant le pôle Nord.

Fig. 10. Tétraèdre engendré par 4 barreaux aimantés.

Quatre barreaux aimantés. Si on manipule 4 barreaux aimantés égaux, ils s'agencent facilement en un double v fermé où l'on aperçoit les 4 faces d'un tétraèdre régulier, dont chaque face est déterminée par 2 barreaux consécutfs. Les normales à 2 de ces faces font entre elles un angle 109,471o. Cet asemblage expérimental est à rapprocher de la vision des moments magnétiques de 4 électrons qu'on imagine en interaction magnétique et maintenus en place malgré leurs répulsions électrostatiques, par un noyau positif.

Nouveau modèle atomique. La dernière propriété mentionnée suggère que, chaque fois que 4 électrons se trouvent associés dans un atome, il est réalisé une sorte de saturation, celle de 4 cônes occupant une sphère des angles solides servant d'espace de configuration. L'association ne peut naturellement exister que grâce à la force attractive d'un noyau positif, sinon, les électrons se repoussent, la force de répulsion entre charges électriques de même signe surpassant sans doute de beaucoup celle, attractive, entre pôles magnétiques de signes différents.

Il faut imaginer que l'espace conique ainsi associé à un électron soit impénétrable pour un autre électron. Les électrons auraient une tendance à s'associer 4 par 4 et on peut dire que tout atome "renferme" potentiellement le nombre 4 dans chacun de ses électrons. Cette tendance, ajoutée aux forces déjà connues dans l'atome d'hydrogène et dans les autres atomes, pourrait conduire à élaborer un nouveau modèle des atomes pluriélectroniques.

Tétrades d'électrons. L'essentiel du nouveau modèle est que dans les atomes les électrons se présentent par groupes de 4, (laissant selon l'atome, un reste de 1, 2 ou 3 électrons non groupés). Lorsque le nombre Z d'électrons est un multiple exact de 4, il y a une sorte de saturation et l'atome serait particulièrement stable. Cela serait surtout vrai lorsqu'il y a similitude entre les caractères de 4 électrons.

Les familles radioactives. Cet aspect numérique est voisin de la théorie des 4 familles radioactives classiques. Avec k entier. et A nombre de nucléons ou nombre atomique.

Famille du thorium A = 4k +0 ou 4k +4

Famille du neptunium A = 4k +1 ou 4k-3

Famille de l'uranium A = 4k +2 ou 4k -2

Famille de l'actinium A = 4k +3 ou 4k-1

Tétrades régulières d'électrons. Formalisation de leur contenu..Voyons comment nous pouvons formaliser le contenu d'une tétrade, et expliciter ce que nous entendons par similitude. Une tétrade comprend 4 termes formant un tableau 2X2 de 2 lignes et 2 colonnes..

haut gauche..haut droite

bas gauche....bas droite

ou en abrégé :

hg hd

X

bg bd.

"Une tétrade régulière renferme 2 orbitales vicariantes l'une de l'autre à l'intérieur d'une strate".

Ainsi nous obtenons un maximum de symétrie entre les termes. Nous gardons lm constant. Nous choisissons les nombres quantiques principaux à l'intérieur d'une strate, ce qui revient à choisir n et n+1. Le premier terme inscrit, dans l'ordre des valeurs croissantes de z, est hg et identifie la tétrade, il est de spin s négatif.

hg = -nlm

Les 3 autres termes répondent au schéma de la figure. Dans l'ordre des valeurs croissantes de z, ce sont bd, bg, hd.. Cet ordre est figuré ci-dessus par un X majuscule. Pour raisons de symétrie, il semble que la composition figurée serait la plus favorable à l'exercice des forces magnétiques entre électrons

Fig. 11. Composition d'une tétrade régulière.

Les permutations sont permises entre les positions des 4 termes.

Nous posons de plus que les seuls atomes possibles sont ceux qui participent à de telles tétrades. Cela veut dire que la période paire d'une strate (périodes 2, 4, 6, 8) a le même nombre de termes que la période impaire précédente (périodes 1, 3, 5, 7).

Une tétrade régulière résulte du pairage de 2 orbitales. On sait que les partenaires d'une orbitale ne diffèrent que par le signe du spin . Les 2 orbitales ainsi pairées sont vicariantes, elles ne diffèrent que par le nombre quantique principal, n pour la 1re, n+1 pour la 2e. La nécessité des tétrades est en quelque sorte une extension du principe d'exclusion de Pauli qui affirmait l'existence du nombre quantique spin de l'électron, pouvant prendre les valeurs -1/2 et +1/2.

Nous avons signalé plusieurs fois précédemment le rôle nécessaire des tétrades dans la compréhension du tableau des atomes. La nouveauté actuelle consiste dans une tentative de les expliquer, basée sur la théorie quantique du spin. L'existence d'une telle base théorique encourage l'élaboration d'un modèle nouveau des atomes pluriélectroniques.

Les forces magnétiques entre électrons dans l'atome d'hélium sont examinées brièvement. HeliumPoly. ECOLE POLYTECHNIQUE Promotion 2001 CONTRÔOLE HORS CLASSEMENT DU COURS DE PHYSIQUE PHY 432 Mardi 29 avril 2003 : 2 heures.

PrecessionSpin

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