Versgéométriequantiquebis.html http://er.uqam.ca/nobel/ c3410/quebecium.qc.ca

Système du Québécium.

Vers une géométrie quantique bis.

Pierre Demers

Traduction interdite

Résumé. Soumis à l'ACFAS

Spin et Géométrie ACFAS2007

Système du Québécium. Géométrie du cône de précession du spin de l'électron. Vers une géométrie quantique.

Pierre Demers

La théorie quantique de l'électron attribue à celui-ci un spin ou moment cinétique propre (1/2)√3 en unités relatives. Autour d'un champ orienteur, ce spin exécute une précession traçant un cône virtuel d'ouverture 109,471o et projette une valeur observable 1/2. Ainsi un électron dans un atome est associé à deux représentations géométriques : un nuage de probabilité de présence et ce cône. Dans un atome polyélectronique, plusieurs cônes sont présents et interagissent dans le modèle géométrique proposé : les cônes auront une tendance "géométrique", à se disposer côte à côte avec un sommet commun et une génératrice commune; 4 tels cônes causent une saturation de l'espace des angles solides. L'angle entre 2 axes est celui entre les normales à deux faces d'un tétraèdre régulier, égal à 109,471o. - Tout fermion de spin 1/2 a la même affinité avec un tétraèdre régulier. - Tout boson de spin 1 comme le photon a une affinité avec le cube. - D'autres valeurs du spin ont de semblables affinités avec les 3 autres solides de Platon et avec le rhombododécaèdre régulier. - http://er.uqam.ca/nobel/c3410/ quebecium.qc.ca - Ainsi, la théorie quantique et la géométrie des solides platoniciens ont des points en commun.

I. Géométrie des solides.

Pourquoi les solides de Platon?

On ne peut pas manquer d'apercevoir dans les solides de Platon un questionnement physique et philosophique. Ils sont des entités représentant une manière d'occuper l'espace qui est quantifiée et rigoureusement définie. Quantifiée dans le sens qu'ils sont liés à des nombres exacts, comme on en rencontre en théorie atomique, certains d'entre eux étant des entiers. Pourquoi en est-il ainsi, quelle est donc la vérité inaccessible à nos sens, dont ils seraient le reflet? Pour des esprits spéculatifs, qui se bornaient à spéculer sans recourir à l'expérimentation, on conçoit que ces solides aient pu retenir longuement leur attention et susciter la conviction qu'ils étaient des signes fondamentaux ou des symboles de vérités essentielles à la compréhension du monde, telle que la doctrine de 4 éléments augmentés de la quintessence.

Le développement du système du québécium m'amène à proposer un examen original des solides de Platon, puis à montrer qu'ils ont un lien avec la théorie atomique relativiste du spin et avec la structure électronique de l'atome en recourant aux principes de symétrie. Les symétries des atomes de l'Univers sont les mêmes que celles des solides de Platon.

(Voyez Référence 1, Normand Mousseau.)

Solides de Platon, homoédriques et étoilés. : les solides réguliers.

1. Les 5 solides de Platon. Nous nous donnons un problème. Nous nous donnons des polygones réguliers tous égaux entre eux qui sont soit

des triangles réguliers,

des carrés ou tétragones réguliers

ou des pentagones réguliers.

Nous nous proposons de les associer de manière à constituer des solides fermés ayant des angles dièdres et trièdres tous égaux La réponse est connue depuis longtemps et attribuée à Platon, à cet unique Platon qui opina sur un grand nombre de sujets.

Ce sont les 5 solides de Platon, constitués ainsi.

•Tétraèdre régulier de 4 faces triangles.

• Hexaèdre régulier ou cube de 6 faces carrés.

• Octaèdre régulier de 8 faces triangles.

• Dodécaèdre régulier formé de 12 faces pentagones.

• Icosaèdre régulier formé de 20 faces triangles.

2. Et le rhombododécaèdre régulier soit 6 solides. Nous nous donnons maintenant un problème légèrement différent. Cette fois, les polygones sont des portions de plans, tous semblables entre eux et ayant des côtés tous égaux; nous admettons que les angles plans entre les côtés puissent être inégaux comme dans le losange. Nous nous proposons encore de les associer de manière à constituer des solides fermés ayant des angles dièdres tous égaux, mais nous admettons que les angles trièdres puissent ne pas être tous égaux. Alors nous trouvons la même réponse; les 5 solides de Platon, avec cependant une addition : le rhombododécaèdre régulier. - L'hexagone et les autres polygones sont exclus. http://www.er.uqam.ca/nobel/c3410/ QbDictEncycl.html . Pour désigner ensemble les solides de Platon et le rhombododécaèdre régulier, j'ai proposé le terme homoédrique signifiant angles dièdres tous égaux.

Dans le rhombododécaèdre régulier, on compte 12 faces losanges, dont les diagonales sont entre elles comme 1 et √2 = 1,414. http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQRBDtxW5.1.html Fig.1 et 2.

Il y a 6 solides homoédriques.

• Tétraèdre régulier formé de 4 faces triangles.

• Hexaédre régulier ou cube formé de 6 faces carrés.

• Octaèdre régulier formé de 8 faces triangles.

• Dodécaèdre régulier formé de 12 faces pentagones.

• Icosaèdre régulier formé de 20 faces triangles.

• Rhombododécaèdre régulier de 12 faces losanges.

3. Et les solides étoilés. Les solides réguliers. Suivons l'exemple de Képler au XVIIe et de Poinsot au XIXe, qui examinèrent ce qui se passe lorsqu'on admet les angles dièdres concaves et non seulement convexes. Il apparaît alors de nouvelles figures en étoiles munies de sommets pointus, par le prolongement des faces jusqu'à rencontre, dans le cas de deux des solides de Platon : le dodècaèdre et l'icosaèdre, et aussi du rhombdodécaèdre régulier. Il n'apparaît pas de nouveaux plans de faces.

Ce sont des stellations ou des coiffes. Les angles entre elles sont concaves. Elles n'introduisent pas de nouveaux angles dièdres. Par contre, elles introduisent de nouveaux angles trièdres et polyèdres.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_de_Kepler-Poinsot http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Kepler-Poinsot_solids.svg http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQRBDtxW5.1.html Fig. 15. Le rhombododécaèdre régulier√ étoilé.

Les stellations dérivées des solides isoédriques sont au nombre de 5. Le total des solides homoédriques y compris leurs stellations est de 11.

•Tétraèdre régulier formé de 4 faces√ triangles.

• Hexaèdre régulier ou cube formé de 6 faces carrés.

• Octaèdre régulier formé de 8 faces triangles.

•Dodécaèdre régulier formé de 12 faces pentagones.

•Icosaèdre régulier formé de 20 faces triangles.

•Rhombododécaèdre régulier de 12 faces losanges.

•Rhombododécaèdre régulier étoilé formé de 12 faces losanges.

• Petit dodécaèdre étoilé.formé de 12 faces étoiles à5 branches

•Grand dodécaèdre étoilé formé de 12 faces étoiles à5 branches.

•Grand dodécaèdre formé de 12 faces pentagones.

•Grand icosaèdre formé de 12 faces triangles.

Nous identifierons les 11 solides de la dernière collection comme étant tous des solides réguliers. Il existe 11 solides réguliers.

Les angles dièdres et autres paramètres des solides réguliers.

La considération de ces figures tridimensionnelles peu faciles à réaliser et à visualiser s'éclaire un peu lorsqu'on porte attention à leurs angles. Entre autres, les 4 solides coiffés, malgré leurs proéminences rébarbatives, n'introduisent aucun angle dièdre supplémentaire. Il en est autrement des angles trièdres et polyèdres, qui résultant de la rencontre d'au moins 3 faces. Voici les angles dièdres D des 11 solides réguliers ce sont les angles formés entre deux faces se rencontrant le long d'une arête. C'est aussi l'occasion de rassembler les autres paramètres des solides réguliers.

Le répertoire que j'ai colligé pourra être utile quoiqu'incomplet. Merci de me signaler les erreurs et de le compléter. Sources : http://mathworld.wolfram.com/topics/SolidGeometry.html http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html (devenu inaccessible); http://fr.wikipedia.org/wiki/Octa%C3%A8dre

Le supplément SD de l'angle D est la différence entre D et 180o. Le supplément d'un angle s'obtient en changeant le signe de l'argument de la fonction arccos. Les angles dièdres associés aux 11 solides régulierssont au nombre de 6, ils sont échelonnés entre 70,529o et 138,190o et en retour, leurs 6 suppléments, entre 109,471o et 41,810o.

L'angle entre les normales à 2 faces adjacentes à une arête est SD qui est le supplément de D.

Le cône inscrit au centre du solide dans une face d'un solide convexe a pour ouverture SD; r est la hauteur du centre.

Ces solides s'inscrivent dans une sphère de rayon R et circonscrivent une sphère de rayon r.

On donne le nombre de faces n, d'arêtes et de sommets et la multiplicité des angles polyèdres aux sommets.

Paramètres des 11 solides réguliers ayant n faces. S supplément, √ racine carrée

Angle D dièdre, T sous-tendu au centre de l'arête prise égale à l'unité

Distance du centre au milieu r d'une face, rho d'une arête, R d'un sommet.

A aire d'une face, V volume du solide.

Entiers dans l'écriture en sus du zéro et du un.

Tétraèdre n = 4 triangles, 6 arêtes, 4 sommets 3

D, SD........arccos(1/3) = 70,529o......arccos(-1/3) = 109,471o

T, ST.........arccos(-1/3) = 109,471o...arccos(1/3) = 70,529o

r, rho, R...(1/12)√6 = 0,20412...(1/4)√2 = 0,35355...(1/4)√6 = 0,61237

A, V..........(1/4)√3...(1/12)√2

Entiers ....2, 3

Cube n = 6 carrés, 12 arêtes, 8 sommets 3

D, SD.......arccos(0) = 90o......arccos(-0) = 90o

T, ST.........arccos(1/3) = 70,529o...arccos(-1/3) = 109,471o

r, rho, R...1/2. = 0,5......................(1/2)√2 = 0,70711.......(1/2)√3 = 0,86603

A, V..........1.......................................1

Entiers.... 2, 3

Octaèdre n = 8 triangles, 12 arêtes, 8 sommets 4

D, SD........arccos(-1/3) = 109,471o...arccos(1/3) = 70,529o

T, ST.........arccos(0) = 90o......arccos(-0) = 90o ?

r, rho, R...(1/6)6 = 0,40825.. 1/2 = 0,5.......(1/2)√2 = 0,70711

A, V.........(1/4)√3...(1/3)√2

Entiers ....2, 3

Dodécaèdre n = 12 pentagones, 30 arêtes, 20 sommets 3

D, SD........arccos[(-1/5)√5] = 115,565o......arccos([(1/5)√5]= 63,435o

T, ST.........arccos(-1/3) = 109,471o...arccos(1/3) = 70,529o

r, rho, R...(1/20)√{250+110√5] = 1,11352 ............................

..................(1/4)(3+√5) = 1,30902 ...

..........................................................(1/4)[(√15)+(√3)] = 1,40126

A, V..........(1/4)√{25+10(√5)].........(1/4)[15+(7√5)]

Entiers .....2, 3, 5, 7, 11

Petit dodécaèdre étoilé.de 12 faces étoiles à5 branches.

Grand dodécaèdre étoilé de 12 faces étoiles à5 branches.

Grand dodécaèdre de 12 faces pentagones.

D, SD........arccos[(-1/5)√5] = 115,565o......arccos([(1/5)√5]= 63,435o

Rhombododécaèdre n = 12 losanges

Dans le losange le grand angle....arccos(-1/3) = 109,471o..

.............................le petit angle......arccos(1/3) = 70,529o

D, SD........arccos(-1/2) = 120o......arccos(1/2) = 60o

T, ST.........(1/2)arccos(1/3) = 35,264o

..........................................................(1/2)arccos(-1/3) = 54,736o

r = gr. diagonale/2 = √(2/3) = √0,66666 = 0,8165

Angle sous-tendu au centre par

la grande diagonale du losange

.........arccos(0) = 90o..............arccos(-0) = 90o

rayon de la sphère inscrite = r = 0,8165

(Entiers .....2, 3...)

http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQRBDtxW5

Rhombododécaèdre étoilé.

D, SD........arccos(-1/2) = 120o......arccos(1/2) = 60o

hauteur du sommet de la coiffe au centre =2r = 1,630

À compléter.

(Entiers 2 , 3...)

Icosaèdre n = 20 triangles, 30 arêtes, 12 sommets 3

D, SD........arccos[(1/3)√5] = 138,190o......arccos[(-1/3)√5] = 41,810o

T, ST..........arccos[(1/5)√5] = 63,435o........arccos[(-1/5)√5] = 116.565o

r, rho, R...(1/12)[(3√3)+√15] = 0,75576

..................(1/4)(1+√5) = 0,80902......

..........................................................(1/4)[(√10)+2√5] = 0,96106

A, V..........(1/4)√3...........................(5/12)(3+√5)

Entiers 2, 3, 5

Grand icosaèdre de 12 faces triangles.

D, SD........arccos[(1/3)√5] = 138,190o......arccos[(-1/3)√5] = 41,810o

Entiers 2, 3, 5

Un essai de classement des solides réguliers.

Les solides dont nous traitons sont par excellence le domaine du discontinu, voici un essai original d'y reconnaître des catégories.

Les solides homoédriques.

!er Classement : par angles et coiffe : 2 catégories.

<><> 1re catégorie angulaire, angles dièdres petits (70,529o à 109,471o), faces peu nombreuses (4 à 8), coiffe impossible, 3 solides : Tétraèdre, Cube, Octaèdre

<><> 2e catégorie angulaire, angles dièdres grands (115,56o à 139,19o), faces nombreuses (12 à 20), coiffe possible, 3 solides : Dodécaèdre, Rhombododcéaèdre, Icosaèdre

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Voici maintenant en nous basant sur les duals. On obtient le solide dual d'un autre en remplaçant les arêtes du 1er par des faces et ses faces par des arêtes. La dualité est réversible, càd que le 1er et le 2e solide peuvent échanger leurs rôles dans l'énoncé qui précède. http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/ pages/truc_mat/textes/platon.htm

On trouve que le tétraèdre est dual de lui-même, càd que son dual est un autre tétraèdre (à l'échelle près). Le cube et l'octaèdre sont duals l'un de l'autre. Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duals l'un de l'autre. Quant au rhombododécaèdre, qui est un solide régulier, son dual est le cuboctaèdre, qui n'est pas un solide régulier puisque ses faces sont de 2 formes, carré et losange. Un classement dual permet distingue 4 catégories

Les solides homoédriques.

2e Classement : par dualité : 4 catégories.

<<>> 1re catégorie duale, du tétraèdre : 1 solide,

le Tétraèdre, dual de lui-même.

<<>> 2e catégorie duale, du cube: 2 solides,

le Cube et l'Octaèdre, duals l'un de l'autre.

<<>> 3e catégorie duale, du dodécaèdre : 2 solides,

le Dodécaèdre et l'Icosaèdre, duals l'un de l'autre.

<<>> 4e catégorie duale, du rhombododécaèdre : un solide, le Rhombododécaèdre, dont le dual est le cuboctaèdre, lequel n'est pas un solide homoédrique

 

Classement par les entiers. Si on examine les entiers nécessaires à l'écriture de leurs paramètres, on peut reconnaître deux catégories parmi les solides homoédriques : tous requièrent 2 et 3 en plus de 1 et 0. Une 1re catégorie est homogène et deux solides requièrent en outre le nombre 5. Je classe le Rhombododécaèdre dans la catégorie 1 en attendant des données complètes. La 2e catégorie est inhomogène puisque le dodécaèdre requiert en outre 7 et 11.

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Les solides homoédriques.

3e Classement : par les entiers en 2 catégories.

Tous requièrent 0, 1, 2 et 3.

<<>> 1re catégorie ne requièrent pas le nombre 5. Renferme 4 solides

Tétraèdre, Cube, Octaèdre et Rhombododécaèdre

<<>> 2e catégorie requièrent le nombre 5 . Renferme 2 solides

Dodécaèdre et Icosaèdre

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Le tétraèdre régulier. Le tétraèdre régulier a des propriétés de conservation uniques vis-à-vis de la troncature. Tronqué par un plan parallèle à l'une de ses faces, il reste identique à lui-même à une homothétie près (en plus d'un résidu à 5 faces). L'opération peut se figurer dans un réservoir ayant la forme d'un tétraèdre régulier, dont on maintient la face supérieure horizontale. À tous les niveaux, la masse d'eau garde la forme d'un tétraèdre régulier. Nous dirons que le tétraèdre est doué d'une troncature conservatrice, à l'exclusion des autres solides envisagés. - En revanche, le tétraèdre n'a aucune aptitude au dallage.

Les solides homoédriques.

4e Classement : par la troncature en 2 catégories.

<<>> 1re catégorie. Troncature conservatrice possible : renferme un solide, le le Tétraèdre.

<<>> 2e catégorie. Troncature conservatrice impossible : renferme 5 solides : le Cube, l'Octaèdre, le Dodécaèdre, le Rhombododécaèdre et l'Icosaèdre.

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Le cube. Toute troncature par un plan parallèle à une face, ou par deux, lui fait perdre sa régularité, et il devient un solide dérivé du cube étant un hexaèdre de 6 faces, soit un parallélipipède. De même l'étirement selon une direction parallèle à une arête.

Le cube se distingue de tous les autres solides réguliers par son aptitude à daller l'espace sans perdre son caractère d'hexaédre. Les étirements selon l'une de ses arêtes représentent l'équivalent d'un dallage. Ainsi, on peut étirer indéfiniment un cube selon l'une ses arêtes z, sans qu'il ne cesse d'être un hexaèdre. Le cube peut d'ailleurs faire apparaître un nouveau cube par un dallage tridimensionnel : c'est ce que nous appellerons un dallage conservateur

Ses propriétés de dallage font que le cube est unique parmi les solides réguliers. Le plus approchant est le rhombododécaèdre, qui est susceptible de daller l'espace indéfiniment, mais la forme résultante n'est pas un autre rhombododécaèdre, ni un autre solide régulier.

Les nombreuses formes cristallines se prêtent au dallage, mais seule parmi elles la forme cubique est un solide régulier.

Les solides homoédriques.

5e Classement: par le dallage en 3 catégories.

• 1re catégorie. Dallage conservateur et non conservateur possibles : le Cube;

2e catégorie. Dallage non conservateur : le Rhombododécaèdre.

• 3e catégorie. Aucun dallage possible : le Tétraèdre, l'Octaèdre, le Dodécaèdre, l'Icosaèdre.

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Le cas remarquable du rhombododécaèdre.

Le solide résultant du dallage du rhombododécaèdre n'est pas un autre rhomboodécèdre. Il peut cependant donner un solide qui s'inscrit dans un tétraèdre avec certains nombres de rhombododécaèdres, ceux appartenant à la série 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120... Ces nombres résultent de l'empilement régulier de boulets de canon sur une base triangulaire. Ils se trouvent aussi dans la classification tridimensionnelle des éléments chimiques du système du québécium.

Voyez encore III. Supplément géométrique.

II. Géométrie atomique.

L'atome de Schrödinger.

L'atome d'hydrogène, qu'on prend comme un modèle pour tous les autres, a la géométrie d'un nuage de probabilité de présence, déterminé par des fonctions d'onde qui dépendent du nombre quantique principal n qui peut rendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 et du nombre quantique l lié au moment cinétique orbital de l'électron qui peut prendre les valeurs observables 0, 1, 2, 3; et du nombre quantique quantum magnŽtique, qui peut prendre les valeurs 0, +-1, +-2, +-3

Il faut de plus tenir compte du nombre quantique s lié au moment cinétique propre de l'électron. De celui-ci on sait au moins qu'il existe, qu'il peut prendre les valeurs -1/2 et +1/2, sinon les atomes seraient moitié moins nombreux qu'ils ne sont et qu'il peut se coupler dans un couplage spin-orbite au moment cinétique orbital pour donner le vecteur j somme vectorielle de l et s.

L'électron de Dirac.

Le spin de l'électron se comprend ainsi. L'électron est ponctuel, de sorte que son vecteur moment cinétique propre est associé à un point géométrique et ne peut être associé à une véritable rotation d'une masse à quelque distance d'un axe. Ce vecteur est virtuel. Il vaut (1/2)√3 en unités arbitraires et en présence d'un champ orienteur H, il décrit un mouvement de rotation autour de l'axe de ce champ, en projetant sur cet axe un moment cinétique projeté seul observable égal à ±1/2. Sa valeur nominale est 1/2. Comme l'angle de rotation autour de l'axe est inconnaissable, ce mouvement en est un de précession sur un cône d'ouverture angulaire définie et de base circulaire arbitraire par exemple la génératrice vaut commodément 5 cm dans nos représentations.

Quant à l'ouverture de ce cône de précession, elle est fixée par la théorie, parce que cette théorie détermine les valeurs permises du moment cinétique projeté. égale à ±1/2. Elle vaut 2 arccos√(1/3) = 109,471o.

Le cône de précession.

Cette valeur 109,471o n'est pas exclusive à l'électron, elle s'applique à toute particule ayant un moment cinétique 1/2. En général, le moment cinétique d'une particule atomique a une valeur nominale I qui est un nombre soit entier ou semi-entier I. Le moment cinétique projeté I' peut valoir un autre nombre au plus égal à I, soit entier si I est entier, soit semi-entier si I est semi-entier. Le vecteur qui se projette mesure √[I(I+1)]. Cette règle détermine l'angle d'ouverture du cône de précession. Voici quelques valeurs de l'ouverture ci-après.

Ces valeurs angulaires sont exactes parce qu'elles sont le fruit d'une théorie, aussi bien que la valeur d'un angle droit, du nombre pi ou de l'angle dièdre de l'icosaèdre. Ne dépendant pas d'une observation, elles ne sont pas soumises au principe d'incertitude. Ce qui est totalement incertain d'ailleurs, et qui n'affecte aucunement nos conclusions, est la position à un instant donné de la rotation du vecteur autour de l'axe H. De cette rotation, on mesure avec précision la fréquence en Hertz dans les importants dispositifs d'analyse et d'imagerie par résonance magnétique des hôpitaux et des laboratoires.

GQAAnglescônesterclaris.  

Moment cinétique nominal I et sa projection I', ouverture du cône de précession

...I.......I'....Ouverture

1/2..1/2.... 109,471o

1.......1...........90,000o

2.......2...........70,529o

3.......3...........60,000o

4.......2.........126,870o

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Les solides de Platon, le rhombododécaèdre. De ci-haut

D angle dièdre, SD son supplément, T angle sous-tendu au centre par l'arête, ST son supplément

solide......................D....................SD.................T......................ST

Tétraèdre............70,529 o.........109,471o.....109,471o............70,529o

Cube....................90,000.o.............90,000o.......70,529o..........109,471o

Octaèdre............109,471o.............70,529o.......90,000o............90,000o

Dodécaèdre.......116,565o.............63,435o.......41,810o..........138,190o

Icosaèdre...........138,190o.............41,810o.......63,435o..........115,565o

Rhombododécaèdre

............................120,000o.............60,000o

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http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQ1sur2

Mise en regard angulaire cônes quantiques et solides géométriques

...I.......I'....Ouverture

1/2..1/2.... 109,471o.......................Tétraèdre.......................SD = 109,471o

1.......1...........90,000o.......................Cube..............................SD = 90,000.o

2.......2...........70,529o.......................Octaèdre........................SD = 70,529o

3.......3...........60,000o.......................Rhombododécaèdre....SD = 60,000o

4.......2...........126,870o.....................Icosaèdre..........................T = 63,435o

4.......2...........126,870o.....................Dodécaèdre...................SD = 63,435o

............Moitié de l'ouverture

4.......2............63,435o.......................Icosaèdre..........................T = 63,435o

4.......2............63.435o.......................Dodécaèdre...................SD = 63,435o

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Analyse.

Pour 4 des solides considérés (T, C, O, R), il est satisfaisant de constater un accord uni-univoque entre l'ouverture d'un cône quantique et le supplément de l'angle dièdre d'un solide isoédrique.

Pour les 2 autres solides (I, D), on constate un accord différent. 1o Il faut diviser par 2 l'ouverture du cône quantique; 2o la même ouverture de cône quantique s'applique à deux solides distincts, une fois au supplément de l'angle dièdre (Dodécaèdre) comme précédemment, l'autre fois à l'angle sous-tendu par l'arête (Icosaèdre). L'accord est uni-bivoque entre quantique et géométrique.

Accord quantique-géométrique

Avec SD ou avec T, deux catégories

• 1e catégorie, avec SD supplément de l'angle dièdre. 5 solides :

Tétraèdre

Cube

Octaèdre

Rhombododécaèdre

Dodécaèdre

• 2e catégorie, avec T angle sous-tendu au centre par l'arête. Un solide ;

Icosaèdre

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Accord quantique-géométrique

Avec l'ouverture quantique ou sa moitié, deux catégories

• 1e catégorie, avec l'ouverture quantique. 4 solides :

Tétraèdre

Cube

Octaèdre

Rhombododécaèdre

• 2e catégorie, avec la moitié de l'ouverture quantique. 2 solides :

Dodécaèdre

Icosaèdre

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Le mécanisme géométrico-atomique de l'accord.

Essayons d'imaginer une organisation au niveau atomique correspondant aux accords que voilà. Le modèle nécessaire est aussi bien virtuel que la théorie du spin de l'électron elle-même. Je l'appellerai géométrique, ou géométrico-atomique.

Modèle du tétraèdre.

Le spin de l'électron : I = 1/2 = I'. Les spins de quatre électrons dans un atome ont une tendance à grouper leurs cônes de précession avec une origine et une génératrice communes à deux cônes. On suppose ici les cônes impénétrables comme la matière ordinaire est impénétrable. Figs 1, 2.

Fig. 1. Quatre cônes, un tétraèdre. GQAfig. 4.gif.

Fig. 2. Cônes impénétrables (les cônes ont une génératrice en commun), cônes pénétrables (un cône a une génératrice en coïncidence avec l'axe de l'autre) . On montre la base des cônes. Au lieu d'imaginer des cônes se compénétrant, il est équivalent d'imaginer des cônes ayant l'ouverture angulaire moitié.

On peut voir de cela une confirmation dans l'importance des symétries 4, nécessaires pour expliquer la classification des éléments chimiques. Un appui récent provient d'un examen des atomes irréguliers. http://er.uqam.ca/nobel/c3410/Irr%8eguliers22.html

La tétravalence du carbone. Les 4 valences du carbone sont rigoureusement équivalentes chimiquement, malgré qu'elles appartiennent selon la spectroscopie à 2 électrons 2s et 2 électrons 2p. L'explication est immédiate dans le présent modèle. Il faut supposer que les forces qui déterminent l'association selon les 4 cônes uniformisent le comportement des 4 électrons de valence. Les équations d'état de Schrödinger mettent en algèbre cette égalité mais ne la justifient pas.

L'explication encore acceptée aujourd'hui remonte à Linus Pauling. "Pauling introduit notamment le concept d’hybridation des orbitales atomiques. Alors que les électrons dans les atomes sont décrits par des orbitales s, p, (…), il montre que pour décrire les liaisons au sein des molécules il est préférable de construire des fonctions qui sont des mélanges de ces orbitales. Par exemple, les orbitales 2p et 2s d’un atome de carbone peuvent se combiner pour former quatre orbitales équivalentes (appelées orbitales hybrides sp3) qui permettent mieux de décrire des composés comme le méthane, à géométrie tétraédrique. " http://www.amessi.org/Parcours-de-Linus-PAULING

(Voyez Référence 2, AMESSI et Linus Pauling.)

Voici du même auteur ibidem au sujet de la structure du benzène, établissant une similitude entre hybridation et résonance. "Ce phénomène sera plus tard baptisé du nom de résonance. D’un certain côté, ce phénomène est analogue à celui d’hybridation des orbitales atomiques, puisqu’il consiste en la combinaison de plusieurs structures électroniques ."

On trouve un exposé sur l'hybridation sp3 du carbone. http://fr.wikipedia.org/wiki/ Hybridation_(chimie)

On trouve un exposé en termes de 4 fonctions d'onde. Les auteurs leur imposent d'avoir toutes la même forme géométrique et obtiennent pour la molécule de méthane CH4 (leur fig. 10) une figure où "les quatre atomes d'hydrogène forment les sommets d'un tétraèdre régulier dont l'atome de carbone est le centre". Mécanique quantique pp. 865-6, Tome I, Cohen-Tannoudji, Diu et Laloë. 1973 et 1998, Hermann, ISBN 2 7056 6074 7

L'intervention proposée dans le présent travail, des cônes de précession des spins des 4 électrons, fournit une explication à ce que les 4 fonctions d'onde aient toutes la même forme géométrique. Il n'est plus nécessaire d'imposer cette condition, il suffit d'admettre qu'elle découle de la géométrie des 4 cônes saturant l'espace des angles solides. La géométrie des spins s'impose plutôt que celle des moments cinétiques orbitaux avec l = 1 et l =0.

Je propose que la liaison est très forte dans le coeur de l'atome de carbone, qui est un hélioide de charge 6 au lieu de 2. À témoin, le potentiel de première ionisation de l'atome He et le plus grand de tous les éléments ( 24,4 e. v.). Dans l'hélioïde, il est multiplié par le carré du rapport 6/2 Il est attrayant d'attribuer à cette force l'indépendance de comportement des 4 autres électrons, devenant libres d'obéir aux forces modestes liées au présent modèle. Nulle part plus loin dans le tableau des éléments chimiques rencontre-t'on une liberté égale et ce serait le secret de la richesse de la chimie organique et de la vie.

Les fermions. Les valeurs I = I' = 1/2 ne sont pas l'exclusivité des électrons. On admet que tous les fermions, sujets à la statistique de Fermi-Dirac, ont un spin ou moment cinétique propre égal à 1/2 ou à une autre valeur semi-entière, et qu'ils ont une tendance, lorqu'ils interagissent comme c'est le cas à l'intérieur d'un atome ou d'une molécule, à se trouver chacun dans un état différent. Cette tendance s'accorde avec l'incapacité du tétraèdre à daller l'espace : si des électrons sont contraints à voisiner dans l'espace géométrique, ils garderont leur nature propre qui les empêche de procéder au dallage, mais du moins se créeront-ils des cellules virtuelles distinctes dans un espace de configuration : par exemple celles dont la formule du québécium donne la liste.

Électrons atomiques l = 0. Certains électrons dans les atomes sont privés de moment cinétique orbital. ce sont 16 électrons s, qui servent d'électrons de valence dans les 16 alcalins et alcalino-terreux et qui terminent les 4 strates et les 8 périodes : H. He, Li, Be, Na, Mg, K, Ca, Rb, Sr, Cs, Ba, Fr, Ra. Uue. Uub. Ces 16 électrons ont comme momnt cinétique leur seul spin moment cinétique propre. Dans le présent modèle, on voit très bien qu'ils correspondent à 4 tétraèdrs distincts.

Modèle du cube. Les bosons.

Spin du photon : I = 1, I' = 1. On admet que tous les bosons ont un un spin égal à l'unité ou à un autre nombre entier et le photon est un boson auquel on attribue le spin 1. L'aptitude du cube à daller l'espace s'accorde avec la tendance des bosons à obéir à la statistique de Bose-Einstein et à occuper tous le même état lorsque plusieurs d'entre eux interagissent. Le laser présenterait une concrétisation de la géométrie du cube dans le domaine atomique. Le laser est un succès de la théorie de la relativité et de l'émission stimulée auxquelles on attache les noms de Poincaré et d'Einstein. La lumière est le domaine où l'unification relativiste de l'espace et du temps s'est manifestée pour la 1re fois. - Cela rattache notre géométrie platonicienne d'autant à la théorie de la relativité.

Modèle du cube. Les électrons atomiques.

Électrons atomiques l = 1. Dans les atomes p, l'électron de valence a un moment cinétique orbital I = 1. La formule du québécium donne leur liste : ils sont 36, soit 12 dans chacune des strates 2, 3 et 4, càd 6 dans chacune des périodes 3, 4, 5, 6, 7 et 8.

Il faut admettre que les électrons de valence p aient invariablement l = I' = 1 dans notre modèle. Ils correspondent dès lors à 6 cubes. Jusqu'ici et en mettant de côté les 68 éléments de transition d et f, on peut alors établir un tableau géométrico-atomique de 52 éléments tous réguliers, en 4 tétraèdres et 6 cubes. Appelons-le platonicien. Chaque strate renferme un tétraèdre; chaque strate après la 1re renferme 2 cubes.

L'écriture des éléments du 1er tétraèdre est consécutive, l'écriture des éléments dans chaque tétrade suivante se fait en 2 temps, comme suit.

Tableau platonicien de 52 éléments, 16 s et 36 p. Description.

• 1re strate

1er tétraèdre (H, He, Li, Be)

• 2e strate

1er cube (B à Ne).....................................2e cube (Al à A)

...............................2e tétraèdre (Na, Mg................................K, Ca)

• 3e strate

3e cube (Ga à Kr)....................................4e cube (In à Xe)

...............................3e tétraèdre (Rb, Sr..................................Cs, Ba)

• 4e strate

5e cube (Tl à Rn)......................................6e cube (Uut à Qb)

...............................4e tétraèdre (Fr, Ra...................................Uue, Ubn)

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Fig.4. Tableau platonicien des 52 éléments s et p. platonicien52.gif

Modèles de l'octaèdre et du rhombododécaèdre.

Octaèdre. Les atomes d ou l = 2 se présentent en 8 demi sous-couches de 5 chacune dans les strates 3 et 4. Or avec 8 atomes d ayant chacun une projection 2, I = I' = 2, on obtiendrait un octaèdre, ce qui suggère que les électrons et les atomes d auraient une tendance à se grouper par 8 pour raisons de symétrie, soit 4 dans chaque demi sous-bloc. On pourrait rattacher à une compétition entre ces deux tendances la présence d'irrégularités, qui sont au nombre de 10 parmi les 40 éléments d.

Les demi sous-blocs d : 5 éléments sont observés

..........................................4 éléments sont suggérés par le modèle de l'octaèdre

Une conciliation est-elle possible? Voici une tentative.

La colonne vertébrale. Il se trouve que, pour des raisons liées à l'observation expérimentale et à la symétrie, distinctes du présent modèle géométrique, le système du québécium propose la présence d'une colonne vertébrale qui contient tous les éléments dont les demi sous-couches sont complètes. Dans cette colonne vertébrale, on n'observe aucun élément irrégulier, et cela tient évidemment à ce que les moments cinétiques orbitaux des Z électrons de ces atomes forment une structure saturée, se combinant pour donner une somme vectorielle nulle, aussi bien qu'un atome s, l = 0 d'alcalin ou d'alcalino-terreux, pour cause de saturation des valeurs possibles du quantum magnétique m.

Dans la colonne vertébrale d, somme l indice i, i = 1 à Z = L = 0 pour Z = 25, 30, 43, 48; 73, 80, 107, 112.

Cela nous donne des raisons de distinguer deux catégories d'éléments d. dans chacune des 8 demi sous-couches d, chacune renfermant un élément L = 0 et 4 autres, et ce nombre 4 s'accorde avec le modèle de l'octaèdre. Il apparaît 4 octaèdres.

Un tableau met en vedette les éléments hors colonne vertébrale, dont les 32 éléments d, voyez http://er.uqam.ca/nobel/c3410/Irr%8eguliers22.html Figs 8, 9, 12

Ce tableau est repris ici avec simplifications. Fig.5

Fig. 5. Les éléments d et f, la colonne vertébrale.

Rhombododécaèdre. Il semble qu'il y ait une situation comparable pour les 28 atomes f, l = 3. Notre modèle suggère que 12 électrons l = 3 pourraient se grouper afin de donner un rhombododécaèdre. Or les atomes f forment des sous-couches de 14. La compétition entre les deux tendances, à réaliser les structures 12 et 14, pourrait expliquer la présence d'irrégularités, au nombre de 9 parmi les 28 éléments f.

Les demi sous-couches f : 7 éléments sont observés

..............................................6 éléments sont suggérés par le modèle du rhombododoécaèdre

La conciliation se fait comme celle des éléments d, pour les 4 demi sous-couches f.

Dans la colonne vertébrale f, somme l indice i, i = 1 à Z = L = 0, i = 1 à Z, Z = 63, 70, 95, 102. Voyez Fig. 5 et encore voyez http://er.uqam.ca/nobel/c3410/Irr%8eguliers22.html Figs 8, 9, 12

Ces 4 éléments sont ainsi exceptés, et il reste deux sous-couches de 12 hors colonne vertébrale, qui satisfont à la confection de 2 rhombododécaèdres.

Solides homoédriques. Il est intéressant de constater que deux polyèdres homoédriques jouent des rôles en tous points comparables à l'égoard des deux strates consécutives 3 et 4, quoique l'un d'eux soit platonicien (l'octaèdre) et l'autre pas (le rhombododécaèdre). Cela confirme la pertinence d'agrandir oo catégorie platonicienne, après des siècles de restriction, et de porter attention à la catégorie des solides homoédriques.

Des éléments S.

On a coutume de reconnaître 4 catégories d'éléments chimiques d'après le caractère de leur électron de valence, selon qu'il est de moment cinétique orbital 0, 1, 2 ou 3, soit s, p, d ou f. La discussion du paragraphe précédent suggère que 8 atomes d et 4 atomes f se rattachent à 2 égards, aux atomes s, quoique leur électron de valence ne soit nullement s. 1o Ils sont systématiquement réguliers, se plaçant dans la colonne vertébrale; 2o ils ne répondent pas au modèle de l'octaèdre ou à celui de rhombododécaèdre destinés aux atomes d et f. Pour chacun d'eux, la somme des moments cinétiques orbitaux S de l'atome est nulle. Afin de leur attribuer une catégorie géométrique à eux aussi, puisqu'ils sont laissés pour compte des deux dernières catégories géométriques mentionnés, on les rattachera aux alcalins et alcalino-terreux avec leurs 4 tétraèdres s, et on leur attribuera 3 tétraèdres, marqués S .

Tableaux platoniciens des éléments.

Ce qui précède permet donc d'écrire un tableau des éléments en solides géométriques représentant chacun, selon le cas, 4, 6, 8 ou 12 éléments. L'écriture des éléments se fait en 2 temps dans plusieurs de ces solides. Trois solides platoniciens et un homoédrique qui n'est pas platonicien y apparaissent : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le rhombododécaèdre.

Un tableau restreint aux 16 éléments s figurés par 4 tétraèdres et aux 36 éléments p, représentés par 6 cubes est à la Fig. 4.

Voici maintenant un tableau complet, ajoutant au précédent 3 types de solides représentant les éléments d et f. La description suit et l'image est à la Fig. 6. Un octaèdre représente 8 éléments d, un rhombododécaèdre représente 12 éléments f, un tétraèdre S représente 4 éléments d ou f dont les demi sous-couches sont saturées.

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Tableau platonicien des 120 éléments

Description

•;1re strate

1er tétraèdre s (H, He, Li, Be)

•;2e strate

1er cube p (B..Ne)

2e cube p (Al..A)

2e tétraèdre s (Na, Mg..K, Ca)

•;3e strate

1er octaèdre d (Sc..Cr, Fe..Cu)

3e cube p (Ga.. Kr).

2e octaèdre d (Y..Mo, Ru..Ag)

4e cube p (In .. Xe)

1er tétraèdre S (Mn..Zn, Tc..Cd)

3e tétraèdre s (Rb, Sr..Cs, Ba)

•;4e strate

1er rhombododécaèdre f (La..Sm, Gd..Tm)

3e octaèdre d (Lu..W, Os..Au)

5e cube (Tl..Rn)

2e rhombododécadre f (Cm..Md, Ac..Pu)

4e octaèdre d (Lr..Sg, Hs..Uuu)

6e cube (Uut ..Qb)

2e tétraèdre S (Eu..Yb, Am..No)

3e tétraèdre S (Re..Hg, Bh..Uub)

4e tétraèdre s (Fr, Ra..Uue, Ubn)

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Fig. 6. Tableau platonicien des éléments. platon120.gif En bref, les correspondances suivantes apparaissent entre les moments cinétiques 1/2, 1, 2 et 3 respectivement et les solides tétraèdre, cube, octaèdre et rhombododécaèdre. Voyez Fig. 8.

Modèles du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Le dodécaèdre et l'icosaèdre correspondraient à un moment cinétique I = 4, projection I' = 4. Ce moment cinétique n'a pas de réalisation dans les atomes au repos. Voyez Fig. 7 la feuille de calcul concernant les cônes de précession des divers moments cinétiques parmi lesquels ceux du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Fig. 7. Aperçu d'une feuille de calcul donnant les cônes de précession de divers moments cinétiques I et I' avec leur correspondance aux solides. http://er.uqam.ca/nobel/c3410/ Pr%e9cessionSEXTEClaris.gif Voyez les images http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQ2sur2.html http://er.uqam.ca/nobel/c3410/GQRBDtxW5.1.html

Conclusion.

Il semble bien que les solides de Platon ne soient nullement étrangers à la structure de la matière inerte et même vivante, et surtout deux d'entre eux, le tétraèdre et le cube.

Le tétraèdre est associé à tous les fermions, ingrédients principaux de la matière ordinaire, et spécialement à 16 éléments s, alcalins et alcalino-terreux.

Le cube est associé aux bosons, essentiels pour expliquer les forces fondamentales, et donc à la lumière, et spécialement à 36 éléments p.

Parmi les 52 éléments associés aux formes platoniciennes du tétraèdre et du cube, aucun n'est irrégulier.

Le lien entre tétraèdre et cône de précession du spin de l'électron relativiste apporte un fondement aux symétries d'ordre 4 du tableau des éléments et surtout, à celles du carbone tétravalent, d'importance vitale.

L'octaèdre est associé à 32 des éléments d, 8 d'entre ceux-ci étant associés au tétraèdre.

Le rhombododécaèdre est associé à 28 des éléments f, 8 d'entre ceux-ci étant associés au tétraèdre.

Le pressentiment des Anciens sur l'importance de la géométrie pour comprendre la structure de l'Univers, avait donc une justification, et voici une tentative de l'exposer. Elle est associée au moment cinétique orbital et au spin et par conséquent à la relativité.

Puisqu'il n'y a pas de rotation sans accélération, la relativité généralisée se trouve impliquée.

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Il a donc fallu attendre plus de 2300 ans, pour que l'on comprenne, grâce au système du québécium, que les symétries platoniciennes sont les mêmes que celles des atomes de l'Univers. Le système du québécium aura démontré une fois de plus sa fécondité. Il a vu le jour en 1995, il a été baptisé (au nom de Québécium) en 1997. Platon vécut de 427 à 347 A. C.

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Référence 1. Normand Mousseau.

Selon ce qu'a écrit Normand Mousseau, il n'y aurait pas de lien entre les solides de Platon et la structure de l'univers.

"Si l'on a depuis longtemps abandonné l'idée que les solides de Platon jouent un rôle quelconque dans la structure de l'Univers, le concept de symétrie a retrouvé sa place, depuis plus d'un siècle au coeur de la physique contemporaine."

http://blogue.sciencepresse.info/ item/211/catid/3 http://er.uqam.ca/nobel/ c3410/quebecium.qc.ca (Mon courriel du 8I2007.)

Pierre Demers - 8 janvier 2007 14:40 http://blogue.sciencepresse... Cher collègue, Votre texte m'intéresse. "On espère que les lois de la physique qu'on connaît aujourd'hui apparaîtront naturellement, contraintes par les symétries." Précisément. Voyez soumis à 75e ACFAS http://er.uqam.ca/nobel/c3410Versgéométriequantiquebis.html. Amical. Pierre Demers 514 747 2308 1200, rue Latour SLaurent H4L 4S4 GYL692

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Référence 2, AMESSI et Linus Pauling.

Message adressé à l'auteur AMESSI de Wikipedia. Des travaux récents conduisent à modifier les vues traditionnelles de Linus Pauling sur la liaison chimique. Réf. votre intéressant article sur Linus Pauling. Amical. Pierre Demers il est 13h20 le 15 janvier 2007, il neige, il fait -10oC. Versgéométriequantiquebis.html , http://er.uqam.ca/nobel/c3410/quebecium.qc.ca, c3410@er.uqam.ca)

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Fig. 8. Mise en regard angulaire solides, moments cinétiques. L'accord ici décrit touche 4 des 6 solides homoédriques. - Ces 4 solides sont réunis par un classement ci-haut et un seul, le 3e classement, par les entiers. Par ce classement, ils sont réunis dans la 1re catégorie, celle qui ne requiert pas l'entier 5.

III. Supplément géométrique.

Faudrait-il compter 22 solides réguliers? Les dérivations.

Les solides de Platon aux angles dièdres convexes sont indubitablement au nombre de 5. On a des raisons d'ajouter le rhombododécaèdre régulier, ce qui totalise 6 solides homoédrques. En admettant les angles dièdres concaves, on obtient 5 solides coiffés et le total devient 11 solides réguliers.

Pour obtenir les solides coiffés, on a manipulé le solide original en agissant sur ses faces, la manipulation consistant en une prolongation des faces sans altération des angles mutuels dièdres qu'elles forment. Cette prolongation des faces est accompagnée d'une prolongation des arêtes segments de droites rencontres des faces. Ces rencontres, ne déterminent pas d'angles dièdres de valeurs nouvelles; en revanche, les angles polyèdres à la rencontre de plus de 2 faces prolongées ont des ordres nouveaux, par exemple l'ordre 6 en plus de l'ordre 3, quand on passe du dodécaèdre régulier au petit dodécaèdre étoilé qui en dérive.

La manipulation décrite au paragraphe précédent appartiendait-elle à une catégorie plus générale de manipulations sur un solide? Convenons de conserver le caractère essentiel à l'identification du solide qu'est l'angle dièdre à la rencontre de 2 faces. La catégorie qui apparaît contient alors, outre la prolongation des faces, leur déplacement par translation. Appelons cette catégorie dérivation et disons que dérivation contient prolongement et translation

La dérivation par prolongement conduit aux formes étoilées et s'appelle stellation. Quel est le résultat dérivant de la translation? Sauf contraintes imposées, le résultat est multiple et contient par exemple les parallélipèdes si l'on agit sur un cube.

Procéder à des translations ou à des prolongements des faces : dans les deux cas, les angles dièdres originaux se conservent.

Effet des translations

Imposons des contraintes de la façon que voici.

À chaque face nous gardons ses dimensions et ses angles plans. Nous la déplaçons d'un mouvement rectiligne en amenant son centre au centre de figure du solide donné. Voici le résultat pour quelques solides.

1. Tétraèdre régulier. Quatre triangles ayant intersection deux à deux, qui morcellent chaque face en 9 triangles équilatéraux. Le volume fermé par ces triangles est nul, ils dessinent 14 cellules de 3 sortes ayant toutes un sommet au centre et formées de triangles équilatéraux ::

4 sont triangulaires et ont pour faces 3 triangles;

4 sont sont triangulaires et pour faces 3 losanges équilatéraux;

6 sont quadrangulaires et ont pour faces 2 triangles équilatéraux et 2 losanges équilatéraux.

On remarque la manifestation de symétries 3 et 4, en accord avec les nombres entiers impliqués 2 et 3.

Tous les sommets sont simples, d'ordre 1. Ils sont ceux d'une surface de dimension 2 : ce sont des surfaces n'ayant qu'un côté.

L'objet obtenu s'inscrit dans un tétraèdre dont le côté vaut les 4/3 de celui du tétraèdre original

1bis. Surface n'ayant qu'une face. Surfaces anti-Möbius. On est confronté à certains exemples de surfaces où l'on peut passer sans discontinuïté d'une face à son opposée, du type Möbius. Elles sont développées dans 3 dimensions et elles ont des portions courbes. La présente analyse nous place devant un cas opposé, où apparaît une surface bidimensionnelle plane limitée n'ayant qu'une face et où, par hypothèse et construction, on n'a aucun moyen de passer à la face opposée. On pourrait l'appeler surface anti-Möbiüs. Non seulement est-il impossible de passer à la face opposée, mais encore celle-ci est inexistante., Elle n'apas d'existence.

Au lieu de parler d'existence, on pourrait parler de visibilité : la surface serait visible d'un côté mais non de l'autre. Voici des exemples. Les vitres permettant d'observer sans être vu; la transmission d'images par télévision, le spectateur voyant le programme sans être vu; plus généralement, l'information d'une photo ou d'un portrait se transmet de sa source vers le spectateur mais non en sens inverse. Enfin, la flèche du temps fait que l'information se transmet du passé au futur.

1ter. Un aspect philosophique. Ce caractère ajoute à la singularité du tétraèdre régulier, que le présent travail rattache aux fermions, particules remarquables par l'individualité de chacune d'entre elles.

2. Cube. Le résultat final est l'intersection de 3 carrés mutuellement perpendiculaires, formant un trièdre trirectangle de 8 cellules qui sont des octants, où tous les angles dièdres sont des droits 90o. Les faces opposées parallèles en se rapprochant finissent par se confondre 2 à 2 en déterminant un solide d'épaisseur nulle ayant 2 faces; les angles dièdres aux arêtes valent 180o. Les angles polyèdres aux sommets sont simples et d'ordre 1 puisqu'ils appartiennent vraiment à des portions de plans et on peut y reconnaître l'ordre 2 puisque ces portions de plans proviennent de deux plans initialement distincts et devenus virtuels. Il y a une certaine continuïté virtuelle d'une face à la face opposée, à la différence du cas du tétraèdre.

3. Rhombododécaèdre régulier. Les 12 faces sont transportées de façon à contenir le centre du solide, se confondant 2 à 2, elles déterminent 6 plans passant par le centre. Ces plans sont perpendiculaires 2 à 2 et déterminent à eux deux un angle dièdre 90o nouveau pour le RBD. Cet angle est présent dans le RBD, pas comme dièdre à l'intersection de deux faces, mais à la rencontre ponctuelle de deux faces aux sommets 4.

On peut procéder de semblable façon pour les 8 autres solides réguliers énumérés plus haut, y compris les solides étoilés.

Ainsi apparaissent 11 solides nouveaux dérivés par la sorte de translation décrite. à partir des 11 solides réguliers énumérés plus haut.

Ces solides nouveaux ont cette particularité de ne comprendre que des surfaces et de ne fermer aucun volume. On pourrait les appeler solides sans volume ou solides privés (privés de volume). Le tétraèdre sans volume, le cube sans volume etc. Il semble aussi légitime de parler de solides réguliers pour ces "solides sans volume" que pour les "solides coffés" quand on commença à examiner ces derniers. La liste des solides réguliers en comprend donc 22.

Les 22 solides réguliers.

Solides normaux, Nos 1 à 11.

1. Tétraèdre régulier

2. Hexaèdre régulier ou cube

3. Octaèdre régulier

4. Dodécaèdre régulier

5. Icosaèdre régulier

6. Rhombododécaèdre régulier

7. Rhombododécaèdre régulier .étoilé

8. Petit dodécaèdre étoilé.

9. Grand dodécaèdre étoilé

10. Grand dodécaèdre

11. Grand icosaèdre

Solides sans volume, Nos 12 à 22.

12. Tétraèdre régulier sans volume

13. Hexaèdre régulier ou cube sans volume.

14. Octaèdre régulier sans volume

15. Dodécaèdre régulier sans volume

16. Icosaèdre régulier sans volume

17. Rhombododécaèdre régulier sans volume

18. Rhombododécaèdre régulier étoilé sans volume

19. Petit dodécaèdre étoilé sans volume

20. Grand dodécaèdre étoilé sans volume

21. Grand dodécaèdre sans volume

22. Grand icosaèdre sans volume

Horizons. Horizon = famille de plans parallèles, définis par un point sur la sphère des angles solides ou sur la voûte céleste. Un solide a une collection d'au moins 4 horizons. Zénith et nadir sont confondus dans une figuration plane. Il n'y a ici que 6 collections d'horizons, parce que l'horizon d'une face n'est pas altéré par son agrandissement dans son plan - pour former une coiffe, ou par sa translation - pour annuler le volume. Les collections sont commodément celles des Nos 1 à 6.

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J'ai réalisé des modèles en papier pour les numéros 12, 13 et 17. Figs 9 , 10 et 11.

 

Figs 9, 9bis. Intersec.

Figs 9, 9bis. Voici l'aspect du tétraèdre sans volume. Traces sur la face R de l'intersection des faces J, V et B. Il y a 14 cellules. PrivéTétra1BB.gif

 

Figs 10, 10bis.

Figs 10, 10bis. Cube sans volume 13. C'est un trièdre trirectangle de 3 carrés se coupant à l'origine. Sur le plan horizontal rose, deux plans s'entrecoupant, ce qui fait 4 cellules supérieures et autant inférieures, soit 8 cellules au total.

 

Figs 11, 11bis.

Figs11, 11bis. Rhombododécaèdre sans volume 17. C'est un hexaèdre de 6 losanges se rencontrant à l'origine. L'échelle double en passant du rhombododécaèdre normal 6 au rhombododécaèdre sans volume 17. - Tous les angles dièdres sont 60o. Un losange vert est horizontal. Il y a 24 cellules. Les losanges de même couleur se coupent à angle droit selon leurs petites diagonales.

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Versgéométriequantiquebis.html http://er.uqam.ca/nobel/c3410/quebecium.qc.ca